分析选项 A：
垂体是人体重要的内分泌腺，可分泌多种激素，如生长激素、促甲状腺激素、促肾上腺皮质激素等。垂体功能低下时，儿童主要表现为生长发育迟缓，如垂体性侏儒症，患者身材矮小，但智力一般正常，这是因为垂体本身并不直接影响神经系统发育导致智力障碍，所以垂体机能低下不会导致呆小症，选项 A 错误。
分析选项 B：
松果体主要分泌褪黑素，其主要功能是调节生物钟、睡眠 - 觉醒周期以及参与某些生殖系统的调节等。松果体的功能与机体的生长发育和智力发育没有直接关联，其机能低下不会导致呆小症，选项 B 错误。
分析选项 C：
甲状腺分泌甲状腺激素，甲状腺激素对人体的生长发育，尤其是神经系统和骨骼的发育至关重要。在胎儿和婴幼儿时期，如果甲状腺机能低下，甲状腺激素分泌不足，会严重影响神经系统的发育，导致智力低下，同时也会影响骨骼生长，造成身材矮小，这种病症称为呆小症，所以甲状腺机能低下会导致呆小症，选项 C 正确。
分析选项 D：
甲状旁腺主要分泌甲状旁腺激素，该激素的主要作用是调节钙磷代谢，维持血钙和血磷的平衡。甲状旁腺机能低下时，会引起血钙降低，导致手足抽搐等症状，但不会影响神经系统发育和整体生长发育而导致呆小症，选项 D 错误。
分析选项 E：
肾上腺分为皮质和髓质，肾上腺皮质分泌盐皮质激素、糖皮质激素和性激素等，主要参与水盐代谢、糖代谢和性特征等方面的调节；肾上腺髓质分泌肾上腺素和去甲肾上腺素，主要参与应激反应。肾上腺机能低下主要影响代谢和应激能力等，与呆小症的发生没有直接关系，选项 E 错误。
综上，机能低下时会导致呆小症的内分泌腺是甲状腺，答案选 C。